充要條件的判定

　　充分條件、必要條件和充要條件是重要的數(shù)學(xué)概念，主要用來區(qū)分命題的條件p和結(jié)論q之間的關(guān)系。本節(jié)主要是通過不同的知識(shí)點(diǎn)來剖析充分必要條件的意義，讓考生能準(zhǔn)確判定給定的兩個(gè)命題的充要關(guān)系。

　　●難點(diǎn)磁場(chǎng)

　　（★★★★★）已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程x2+ax+b=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根α、β，證明：|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要條件。

　　●案例探究

　　[例1]已知p：|1- |≤2,q:x2-2x+1-m2≤0（m>0），若？p是？q的必要而不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

　　命題意圖：本題以含絕對(duì)值的不等式及一元二次不等式的解法為考查對(duì)象，同時(shí)考查了充分必要條件及四種命題中等價(jià)命題的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)了知識(shí)點(diǎn)的靈活性。

　　知識(shí)依托：本題解題的閃光點(diǎn)是利用等價(jià)命題對(duì)題目的文字表述方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使考生對(duì)充要條件的難理解變得簡(jiǎn)單明了。

　　錯(cuò)解分析：對(duì)四種命題以及充要條件的定義實(shí)質(zhì)理解不清晰是解此題的難點(diǎn)，對(duì)否命題，學(xué)生本身存在著語言理解上的困難。

　　技巧與方法：利用等價(jià)命題先進(jìn)行命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，搞清晰命題中條件與結(jié)論的關(guān)系，再去解不等式，找解集間的包含關(guān)系，進(jìn)而使問題解決。

　　解：由題意知：

　　命題：若？p是？q的必要而不充分條件的等價(jià)命題即逆否命題為：p是q的充分不必要條件。

　　p:|1- |≤2 -2≤ -1≤2 -1≤ ≤3 -2≤x≤10

　　q:x2-2x+1-m2≤0 [x-（1-m）][x-（1+m）]≤0

　　∵p是q的充分不必要條件，

　　∴不等式|1- |≤2的解集是x2-2x+1-m2≤0（m>0）解集的子集。

　　又∵m>0

　　∴不等式的解集為1-m≤x≤1+m

　　∴ ，∴m≥9，

　　∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[9，+∞ .

　　[例2]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)Sn=pn+q（p≠0,p≠1），求數(shù)列{an}是等比數(shù)列的充要條件。

　　命題意圖：本題重點(diǎn)考查充要條件的概念及考生解答充要條件命題時(shí)的思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

　　知識(shí)依托：以等比數(shù)列的判定為主線，使本題的閃光點(diǎn)在于抓住數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的遞推關(guān)系，嚴(yán)格利用定義去判定。

　　錯(cuò)解分析：因?yàn)轭}目是求的充要條件，即有充分性和必要性兩層含義，考生很容易忽視充分性的證明。

　　技巧與方法：由an= 關(guān)系式去尋找an與an+1的比值，但同時(shí)要注意充分性的證明。

　　解：a1=S1=p+q.

　　當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=pn-1（p-1）

　　∵p≠0,p≠1,∴ =p

　　若{an}為等比數(shù)列，則 =p

　　∴ =p,

　　∵p≠0，∴p-1=p+q，∴q=-1

　　這是{an}為等比數(shù)列的必要條件。

　　下面證明q=-1是{an}為等比數(shù)列的充分條件。

　　當(dāng)q=-1時(shí)，∴Sn=pn-1（p≠0,p≠1），a1=S1=p-1

　　當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=pn-pn-1=pn-1（p-1）

　　∴an=（p-1）pn-1 （p≠0,p≠1）

　　=p為常數(shù)

　　∴q=-1時(shí)，數(shù)列{an}為等比數(shù)列。即數(shù)列{an}是等比數(shù)列的充要條件為q=-1.

　　●錦囊妙計(jì)

　　本難點(diǎn)所涉及的問題及解決方法主要有：

　　（1）要理解“充分條件”“必要條件”的概念：當(dāng)“若p則q”形式的命題為真時(shí)，就記作p q，稱p是q的充分條件，同時(shí)稱q是p的必要條件，因此判斷充分條件或必要條件就歸結(jié)為判斷命題的真假。

　　（2）要理解“充要條件”的概念，對(duì)于符號(hào)“ ”要熟悉它的各種同義詞語：“等價(jià)于”，“當(dāng)且僅當(dāng)”，“必須并且只需”，“……，反之也真”等。

　　（3）數(shù)學(xué)概念的定義具有相稱性，即數(shù)學(xué)概念的定義都可以看成是充要條件，既是概念的判斷依據(jù)，又是概念所具有的性質(zhì)。

　　（4）從集合觀點(diǎn)看，若A B，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；若A=B，則A、B互為充要條件。

　　（5）證明命題條件的充要性時(shí)，既要證明原命題成立（即條件的充分性），又要證明它的逆命題成立（即條件的必要性）。