2019年成人高考高起點(diǎn)文數(shù)考試章節(jié)難點(diǎn)解析3

難點(diǎn)3 運(yùn)用向量法解題

　　平面向量是新教材改革增加的內(nèi)容之一，近幾年的全國(guó)使用新教材的高考試題逐漸加大了對(duì)這部分內(nèi)容的考查力度，本節(jié)內(nèi)容主要是幫助考生運(yùn)用向量法來(lái)分析，解決一些相關(guān)問(wèn)題。

　　●難點(diǎn)磁場(chǎng)

　　（★★★★★）三角形ABC中，A（5，-1）、B（-1，7）、C（1，2），求：（1）BC邊上的中線

　　AM的長(zhǎng)；（2）∠CAB的平分線AD的長(zhǎng)；（3）cosABC的值。

　　●案例探究

　　[例1]如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.

　　（1）求證：C1C⊥BD.

　　（2）當(dāng) 的值為多少時(shí)，能使A1C⊥平面C1BD?請(qǐng)給出證明。

　　命題意圖：本題主要考查考生應(yīng)用向量法解決向量垂直，夾角等問(wèn)題以及對(duì)立體幾何圖形的解讀能力。

　　知識(shí)依托：解答本題的閃光點(diǎn)是以向量來(lái)論證立體幾何中的垂直問(wèn)題，這就使幾何問(wèn)題代數(shù)化，使繁瑣的論證變得簡(jiǎn)單。

　　錯(cuò)解分析：本題難點(diǎn)是考生理不清題目中的線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，再就是要清楚已知條件中提供的角與向量夾角的區(qū)別與聯(lián)系。

　　技巧與方法：利用a⊥b a·b=0來(lái)證明兩直線垂直，只要證明兩直線對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積為零即可。

　　（1）證明：設(shè) =a, =b, =c,依題意，|a|=|b|， 、 、 中兩兩所成夾角為θ，于是 =a-b， =c（a-b）=c·a-c·b=|c|·|a|cosθ-|c|·|b|cosθ=0,∴C1C⊥BD.

　　（2）解：若使A1C⊥平面C1BD，只須證A1C⊥BD，A1C⊥DC1，

　　由 =（a+b+c）·（a-c）=|a|2+a·b-b·c-|c|2=|a|2-|c|2+|b|·|a|cosθ-|b|·|c|·cosθ=0,得

　　當(dāng)|a|=|c|時(shí)，A1C⊥DC1，同理可證當(dāng)|a|=|c|時(shí)，A1C⊥BD，

　　∴ =1時(shí)，A1C⊥平面C1BD.

　　[例2]如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn)。

　　（1）求 的長(zhǎng)；

　　（2）求cos< >的值；

　　（3）求證：A1B⊥C1M.

　　命題意圖：本題主要考查考生運(yùn)用向量法中的坐標(biāo)運(yùn)算的方法來(lái)解決立體幾何問(wèn)題。屬

　　★★★★級(jí)題目。

　　知識(shí)依托：解答本題的閃光點(diǎn)是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系O-xyz,進(jìn)而找到點(diǎn)的坐標(biāo)和求出向量的坐標(biāo)。

　　錯(cuò)解分析：本題的難點(diǎn)是建系后，考生不能正確找到點(diǎn)的坐標(biāo)。

　　技巧與方法：可以先找到底面坐標(biāo)面xOy內(nèi)的A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用向量的模及方向來(lái)找出其他的點(diǎn)的坐標(biāo)。

　　（1）解：如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

　　依題意得：B（0，1，0），N（1，0，1）

　　∴| |= .

　　（2）解：依題意得：A1（1，0，2），C（0，0，0），B1（0，1，2）。

　　∴ = =（0，1，2）

　　=1×0+（-1）×1+2×2=3

　　| |= （3）證明：依題意得：C1（0，0，2），M（ ）

　　∴ ∴A1B⊥C1M.

　　●錦囊妙計(jì)

　　1.解決關(guān)于向量問(wèn)題時(shí)，一要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進(jìn)行向量的各種運(yùn)算，加深對(duì)向量的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想。

　　2.向量的數(shù)量積常用于有關(guān)向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問(wèn)題中。常用向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)證明向量的垂直和平行問(wèn)題；利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點(diǎn)間距離的問(wèn)題。

　　3.用空間向量解決立體幾何問(wèn)題一般可按以下過(guò)程進(jìn)行思考：

　　（1）要解決的問(wèn)題可用什么向量知識(shí)來(lái)解決？需要用到哪些向量？

　　（2）所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示？

　　（3）所需要的向量若不能直接用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分別最易用哪個(gè)未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何關(guān)系？

　　（4）怎樣對(duì)已經(jīng)表示出來(lái)的所需向量進(jìn)行運(yùn)算，才能得到需要的結(jié)論？